\documentclass[titlepage,a4paper,12pt,norsk]{IMFeksamen}
\usepackage[utf8]{inputenc} % erstatt evt utf8 med latin1
\trykkinfo[tosidig,sorthvit] % [ensidig,farger]
\emnekode{TMA4111}
\emnenavn{Matematikk 3 for MTELSYS - TEST II}
\eksamensdato{}
\eksamenstid{09:00 - 13:00}
%\fagligkontaktinfo{Helge Holden}{xx xx xx xx }
%\fagligkontaktinfo{Louis-Philippe Thibault}{xx xx xx xx}
\fagligkontaktinfo{Morten Andreas Nome}{}
\hjelpemiddel{Ingen hjelpemidler tillatt.}
\anneninfo{Denne eksamenen består av 10 delpunkt som alle teller like mye. Alle svar skal begrunnes, og veien til svaret er viktigere enn svaret. Husk derfor å skrive alle steg i beregningene dine. Lykke til.}
\runninghead{TMA4111 Matematikk 3 for MTELSYS - 2021h}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern,amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage[european,americanvoltages,americaninductors]{circuitikz}
\usepackage{setspace}



\begin{document}


\begin{oppgave}
En flate er parametrisert ved funksjonen $\mathbf F: [0,1] \times [0,1] \to \mathbb R^3$ gitt ved
\[
\mathbf F(x,y)=
\begin{bmatrix}
x\\
y \\
x^{3/2} 
\end{bmatrix}
\]
Finn overflatearealet.
\end{oppgave}







\begin{oppgave}
La $u$ være enhetssprangfunksjonen
\[
u(t-a)=\begin{cases} 0  \quad &\text{for}\; t < a \\ 1 \quad &\text{for}\; t \geq a \end{cases}
\]
\begin{punkt}
Vis at laplacetransformen er
\[
\mathcal{L}(u(t-a))=\frac{e^{-as}}{s}.
\]
\end{punkt}
\begin{punkt}
Løs initialverdiproblemet
\begin{equation*}
	y''(t)+y(t)=u(t-1)
\qquad
	y(0)=y'(0)=0
\end{equation*}
og skisser løsningen.
\end{punkt}

\begin{punkt}
Skisser funksjonen $h(t)=-u(x+1)+2u(x)-u(x-1)$, og finn dennes fouriertransform.
\end{punkt}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Finn enhetstangentvektoren til skjæringskurven mellom flatene
$z=x^2+y^2$ og $z=2x+2y$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Beregn lengden til kurven gitt ved
\[
\mathbf{z}(t)=(\cos t,\sin t, \pi^2-t^2)
\]
fra $t=-\pi$ til $t=\pi$. \\
(Hint: $\int \sqrt{1+t^2}\; dt=\frac{1}{2}t\sqrt{1+t^2}+\frac{1}{2}\ln|t+\sqrt{1+t^2}|$.)
\end{oppgave}


\begin{oppgave}
Finn  og skisser niv{\aa}kurvene til flaten gitt ved $z=4x^2+8x+5y^2-10y+9$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Finn den største og den minste verdien skalarfeltet 
\[
f(x,y)=3x^2+y^2-y
\]
oppnår på sirkelskiva $x^2 + y^2􏰀 \leq 4$.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}
Et legeme $\mathcal T\in \mathbb R^3$ i første oktant er begrenset av koordinatplanene 
(altså $x_1$-planet, $x_2$-planet og $x_3$-planet) 
og et skrått plan som skjærer koordinataksene i $(1,0,0)$, $(0,2,0)$ og $(0,0,3)$.
La $\mathcal C$ være skjæringskurven mellom det skrå planet og koordinatplanene.

\includegraphics[scale=.4]{tetraeder}

En funksjon $\mathbf F: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ er gitt ved
\[
\mathbf F(\mathbf x)=
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} 
\]

\begin{punkt}
Beregn $\mathbf F$ sin totale fluks ut av $\mathcal T$. 
\end{punkt}

\begin{punkt}
Beregn arbeidet gjør på en partikkel som reiser en gang rundt kurven $\mathcal C$.
\end{punkt}

\end{oppgave}



\end{document}