\documentclass[titlepage,a4paper,12pt,norsk]{IMFeksamen}
\usepackage[utf8]{inputenc} % erstatt evt utf8 med latin1
\trykkinfo[tosidig,sorthvit] % [ensidig,farger]
\emnekode{TMA4111}
\emnenavn{Matematikk 3 for MTELSYS}
\eksamensdato{18.01.2022}
\eksamenstid{09:00 - 13:00}
%\fagligkontaktinfo{Helge Holden}{xx xx xx xx }
%\fagligkontaktinfo{Louis-Philippe Thibault}{xx xx xx xx}
\fagligkontaktinfo{Morten Andreas Nome}{90849783}
\hjelpemiddel{E: Ingen hjelpemidler tillatt.}
\anneninfo{Denne eksamenen består av 10 delpunkt som alle teller like mye. Alle svar skal begrunnes, og veien til svaret er viktigere enn svaret. Husk derfor å skrive alle steg i beregningene dine. Lykke til.}
\runninghead{TMA4111 Matematikk 3 for MTELSYS - 18.01.2022}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern,amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage[european,americanvoltages,americaninductors]{circuitikz}
\usepackage{setspace}



\begin{document}



%\begin{oppgave}
%La $\delta$ være diracs deltafunksjon. 
%Løs initialverdiproblemet
%\[
%\ddot{x}(t)+\dot{x}(t)+x(t)=\delta(t-1) \quad x(0)=0 \quad \dot{x}(0)=0.
%\]
%\end{oppgave}
%
\begin{oppgave}
Finn laplacetransformen til $x:[0,\infty)\to \mathbb R$ gitt ved
\[
x(t)=
\begin{cases}
0 \quad &t< \pi \\
\cos t \quad &t\geq \pi
\end{cases}
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Beregn lengden til
kurven $\mathbf{z}(t)=(\cos t,\sin t, t)$ fra $0$ til $2\pi$. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Skisser niv{\aa}kurvene til flaten gitt ved $z=4x^2+5y^2$.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}
Finn og klassifiser de kritiske punktene til 
 \[
 f(x,y)=x^2+xy+y^2-x-y.
 \]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}
Et legeme $\mathcal T\in \mathbb R^3$ i første oktant er begrenset av koordinatplanene 
(altså $x_1$-planet, $x_2$-planet og $x_3$-planet) 
og et skrått plan som skjærer koordinataksene i $(1,0,0)$, $(0,2,0)$ og $(0,0,3)$.
La $\mathcal C$ være skjæringskurven mellom det skrå planet og koordinatplanene.

\includegraphics[scale=.4]{tetraeder}

En funksjon $\mathbf F: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ er gitt ved
\[
\mathbf F(\mathbf x)=
\begin{bmatrix}
-x_2 \\
x_1 \\
x_3
\end{bmatrix} 
\]

\begin{punkt}
Beregn $\mathbf F$ sin totale fluks ut av $\mathcal T$. 
\end{punkt}

\begin{punkt}
Beregn arbeidet $\mathbf F$ gjør på en partikkel som reiser en gang rundt kurven $\mathcal C$. \\ 
(Du kan selv velge om partikkelen skal reise med eller mot klokken.)
\end{punkt}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Det elektriske feltet fra en punktladning $q$ plassert i origo er
\[
\mathbf E(\mathbf x)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{\mathbf x}{\|\mathbf x\|^3},
\]
der $\mathbf x=(x_1,x_2,x_3)$.

\begin{punkt}
Vis at $\nabla \cdot \mathbf E = 0$ så lenge $\mathbf x \neq \mathbf 0$.
\end{punkt}

\begin{punkt}
Regn ut utfluksen til det elektriske feltet gjennom enhetskuleskallet,
altså
\[
\iint_{\partial \Omega } \mathbf E \cdot  dS
\]
der $\Omega$ er enhetskulen.
\end{punkt}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}
Finn fouriertransformen til $f:\mathbb R \to \mathbb R$ gitt ved 
\[
f(t)=e^{-a|t|}
\] 
der $a>0$. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}
Vi har to kuleskall, 
et med likning $x^2+y^2+z^2= 1$ og et med likning $x^2+y^2+(z-1)^2= 1$.
Finn volumet av området i $\mathbb R^3$ som ligger på innsiden av begge.
\end{oppgave}



\end{document}