Øvingsoppgaver med veiledning 3. mai:

Oppgave 1

Eksamen TMA4130 Matematikk 4N desember 2003 oppgave 6.

Oppgave 2

Gitt \(f(x)=e^{-x^2}\).

• a) Finn en tilnærmelse til integralet \(I=\int_{0.0}^{0.8} f(x) \mathrm{d}x\) ved bruk av sammensatt
  • i) Trapesmetoden
  • ii )Simpsons formel
  Bruk \( h=0.2\) i begge tilfellene.
• b) Hvor mange like store intervaller, \(n\), trenger trapesmetoden hvis total feil skal være mindre enn \(10^{-5}\)?

Oppgave 3

For å kunne simulere termiske egenskaper ved en skivebrems (se figur), trengs en numerisk approksimasjon til "middeltemperaturen" over bremseklossen, gitt ved

\( T = \frac{\int_{r_e}^{r_0} T(r)r \mathrm{d} r}{\int_{r_e}^{r_0}r \mathrm{d} r}\)

hvor \( T(r) \) er temperaturen ulike steder på bremseklossen. Her er \(r_e = 9.38\) cm og \( r_0 = 14.58\) cm. \( T(r) \) for noen verdier av \(r\) er gitt i følgende tabell, disse funnet ved en numerisk løsning av varmeledningsligningen.

\( r \)(cm)	\( T(r) \)(°C)
9.38	338
9.90	423
10.42	474
10.94	506
11.46	557
11.98	573
12.50	601
13.02	622
13.54	651
14.06	661
14.58	671

Bruk disse verdiene til å finne en tilnærmelse til middeltemperaturen \(T\).

Oppgave 4

Kreyszig 8. utgave, 18.1: oppgave 5 og 11

Oppgave 5

Vi skal se på iterative metoder for å løse systemet

\( \left[ {4\atop {1\atop 0}} {1\atop {4\atop 1}} {0\atop {1\atop 4}}\right] \left[ {u_1\atop {u_2\atop u_3}} \right] = \left[ {5\atop {6\atop 5}} \right] \)

• a) Utfør to iterasjoner med Jacobimetoden.
• b) Utfør to iterasjoner med Gauss-Seidel-metoden.

Bruk startvektoren \([0; 0; 0]^T\) i begge tilfeller.

Frist 9. mai. Lykke til!