MA2201 Algebra/TMA4150 Algebra og tallteori

Faglærer: Idun Reiten, idunr"at"math.ntnu.no, Sentralbygg 2, 8. etasje, rom 856. Telefon (735)91742.

Øvingslærer: Dagfinn Vatne, dvatne"at"math.ntnu.no, Sentralbygg 2, 8. etasje, rom 832. Telefon (735)91625.
(Vennligst merk e-poster med et relevant "subject".)

Meldinger - i omvendt kronologisk rekkefølge

• 29.06: Her er et løsningsforslag til eksamen.
• 06.06: Her er eksamensoppgavene:
  • MA2201
  • TMA4150
• 08.05: I morgen, tirsdag, er siste forelesning, og det vil bli gått gjennom eksamensoppgaver. Videre blir det konferansetimer hos Dagfinn på kontor 832 på følgende tidspunkt:
  • Fredag 12.05 kl 14-16
  • Tirsdag 16.05 kl 15-16
  • Fredag 19.05 kl 15-16 (Nødhjelp)
• 07.05: Vi har likevel funnet fasiter for noen tidligere gitte eksamener:
  • 12. august 2004
  • Div. fra eksamen 19. mai 1999 og 5. desember 2000
  • Eksamen 28. mai 2004
• 02.05: Hvilke oppgaver vi får gått gjennom på forelesningene framover er litt avhengig av hvor mye vi kommer gjennom i dag. Her kommer noen oppgaver som vi kan ta etterhvert:
  • 12. august 2004: 4
  • 12. august 2004: 2
  • 26. november 1999: 2
  • 28. mai 2004: 4
  • For TMA4150: 12. august 2004: 5
  • For MA2201: 28. mai 2004: 6
  Merk at noen av disse har blitt gitt på øvingene.
  
• 27.04: I uke 18 vil Dagfinn gå gjennom tidligere eksamensoppgaver på forelesningene. Dere bør ha prøvd dere på oppgavene før dere kommer. Vi begynner med fjorårets eksamen (MA2201, TMA4150). Vi følger opp med:
  • 12. august 2004: 3
  • 7. desember 1999: 2
  Vi får se hvor god tid vi får, og det er mulig vi får med andre oppgaver også. Vi har også tirsdag 9. mai til disposisjon. Planen er å bruke tid på å forklare hver oppgave godt, ikke å regne så mange oppgaver som mulig.
• 27.04: Neste uke er siste uke med øvinger. Det blir ikke satt opp så mange nye oppgaver, men dere kan komme og spørre om oppgaver og annet fra tidligere i semesteret. Dessuten bør dere regne oppgavene vi skal gå gjennom på forelesningene.
• 27.04: Det vil bli satt opp konferansetimer før eksamen.
• 24.04: Plan for forelesningene 25.04 og 26.04: "Konstruksjon av endelige kropper" fullføres, og det gis en oversikt over pensum.
• 24.04: Det blir et informasjonsmøte om kurs innenfor algebra som bygger på MA2201/TMA4150 tirsdag 25.04 kl. 1515-16. Dette finner sted på rom 734 i Sentralbygg 2.
• 20.04: Både Idun og Dagfinn bytter kontor denne uken. Idun vil være å finne på 856 i framtiden, og Dagfinn på 832. Begge er i 8. etg. i SB2. Telefonene vil være litt ustabile et par dager.
• 30.03: Plan for forelesninger i uke 14: Sylowteori (avsnitt 36). Dette er bare pensum for MA2201, men alle studenter vil ha glede av forelesningene! [Merk: Ludwig Sylow var faktisk norsk.]
• 30.03: Noen av dere kunne kanskje vært interessert i et prosjekt om kodeteori med Sverre Smalø. I så fall kan dere kikke på beskrivelsen.
• 23.03: Tentativ plan for forelesninger i uke 13:
  • Snakke ferdig om personnummer
  • Lineære kongruenser (avsnitt 20)
  • Starte på avsnitt 22: polynomringer
• 21.03: Pensumlisten (som ligger lenger ned på siden) har blitt oppdatert. Det har blitt lagt ut et notat om Eulers phi-funksjon, som er for alle studenter, og et oppsummeringsnotat om konstruksjon av endelige kropper for TMA4150-studentene.
• 09.03: Resultatene fra midtsemesterprøven er klare:
  • TMA4150
  • MA2201
  Riktig svar på en oppgave gir 2 poeng. På de oppgavene der det var to riktige svar får dere 1 poeng for hvert riktig svar.
• 08.03: Dagfinn kommer til å vikariere for Idun også i uke 11.
• 07.03: Håper midtsemesterprøven gikk bra. Prøven ligger her, og fasiten ligger her.
• 22.02: Det blir ikke spørretime i vanlig undervisningstid i uke 9, men om du ikke kan komme til spørretimen 3. mars, kan du kontakte øvingslærer på andre tidspunkt.
• 21.02: Det blir ingen vanlig undervisning i midtsemesterukene (uke 9 og 10). Derimot blir det spørretime hos øvingslærer fredag 3. mars kl 14-16 på kontor 624 i SB2. I forberedelsene til midtsemesterprøven anbefaler vi at dere samarbeider med medstudenter.
• 20.02: Samlet informasjon om midtsemesterprøven står nå under egen overskrift lenger nede på sida.
• 16.02: Fra nå av kan dere levere inn øvingene når det passer dere, ikke bare annenhver uke. Torsdag kl 12 er heller ikke lenger en frist for å levere. Øvingslærer vil helst at dere likevel leverer inn rimelig kort tid etter at oppgavene har blitt gitt. Inn- og ut-boks står rett ved inngangen til Industriell Matematikk, Nordre Lavblokk, 3. etg.
• 15.02: En samling av gamle eksamensoppgaver ligger her.
• 15.02: Siden mange av siv.ing-studentene er på ekskursjon i uke 14, vil vi bruke den uken til å forelese den delen av pensum som kun er for MA2201. TMA4150-pensumet vil bli forelest i slutten av semesteret.
• 15.02: Det blir ingen forelesninger eller øvinger i uke 9 og uke 10, men i uke 9 kommer det til å bli satt opp spørretime.
• 15.02: Vi har litt god tid til å komme gjennom det vi skal før midtsemesterukene. Øvingslærer tar i mot forslag til hva vi kan gå gjennom på forelesningen onsdag 22.02. Send gjerne en e-post.
• 15.02: Pensum til midtsemesterprøven er til og med avsnitt 17 i læreboka. Se pensumliste lenger ned på siden.
• Det blir midtsemesterprøve i uke 10 til vanlig forelesningstid på tirsdag, dvs. 13.15-15.00. Denne prøven vil kunne telle positivt på den samlede karakteren, men ikke negativt.
• Siden det ikke har dukket opp noen på den siste onsdagsgruppen, vil det ikke bli gruppe på denne tiden.
• En ny øvingslærer vil ta over øvingsopplegget i uke 7. Den nye øvingslæreren heter Dagfinn Vatne og er tilknyttet algebragruppen.
• Øvingene er ikke obligatoriske. Det vil imidlertidig være mulig å levere inn oppgaver fra øvingene til retting annenhver uke. De aktuelle oppgavene vil bli merket med * (dermed skal oppgavene med * som er gitt i uke 3 og 4 leveres i uke 4, oppgavene med * som er gitt i uke 5 og 6 leveres i uke 6, osv. Første frivillige innlevering blir lagt til uke 4. Det oppfordres til å danne grupper slik at dere får diskutert problemene selv på forhånd, og det vil være mulig å levere som gruppe. Innleveringene kan leveres i 3. etasje i Nordre Lavblokk, ved inngangen til Industriell Matematikk. Dette skal gjøres senest torsdag i uken hvor det er mulig å levere (det vil stå en papirkassett merket TMA4150 innlevering her). Dette må også gjøres før klokken 12.
• Spørsmål vedrørende kurset kan rettes til øvingslærer.
• Øvingsopplegg vil bli diskutert og avtalt i første øvingstime.
• Forelesningene vil i ukene 3 og 4 bli holdt av øvingslærer.
• Første forelesning: Tirsdag 10/1 - 06 kl. 13.15.

Lærebok

John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7th Edition (International edition), November 2002.

Pensum

(Pensum er det samme som for våren 2005)

Felles:
I:4,5,6
II:8,9,10,11
III:13,14,15 (til og med side 148),16,17
IV:18,19,20,22,23 (til og med side 214)
Notat om Eulers phi-funksjon

TMA4150:
26, deler av 27 og 33 (se notat)

MA2201:
36, Eksempel 37.12

Midtsemesterprøve

• Tid: Tirsdag 7. mars kl. 13.15-15.00. Møt opp i god tid!
• Sted: Auditorium S4
• Pensum: Til og med avsnitt 17 i læreboka

Midtsemesterprøven kan telle positivt på karakteren, 20 prosent, men ikke negativt. Ta med studentbevis! Kikk gjerne på fjorårets midtsemesterprøve.

Forelesninger

Tirsdag 13.15 - 15, S4
Onsdag 8.15 - 10, B1 (Bergavd., sokkel)

Øvinger

Øvingene starter i uke 3, og er hentet fra læreboka. Veiledning vil bli gitt av øvingslærer på følgende tider og steder:

• Tirsdager:16.15-18.00 i B2.
• Onsdager:14.15-16.00 i EL4.

Under finner dere oppgavene. Husk at dere gjerne må gjøre flere oppgaver enn de som står her! Besvarelser på oppgaver merket med * kan leveres inn i en eske som står ved inngangen til Industriell Matematikk, tredje etasje i Nordre Lavblokk. Disse vil bli rettet og kommentert av øvingslærer.

Øving 1, uke 3:
Kap. 1.2: 12,13*,27*,28
Kap. 1.4: 3,6,10*,15,18,30,32,34

Øving 2, uke 4:
Kap. 1.4: 41*
Kap. 1.5: 5,6,11,13,22,23,26,33,41,45,46,51*,53*

Øving 3, uke 5:
Kap. 1.6: 17,19,33,34*,35,36*,37,45,48,51,52*,55
Kap. 2.8: 17*,20,44,46*

Øving 4, uke 6:
Kap. 2.8: 47
Kap. 2.9: 4,6*,9,10*,27a*,27b,29,39
Kap. 2.10: 2*,12

Øving 5, uke 7:
Kap. 2.10 (side 101-103): 6, 7, 28*, 32*, 34*
Kap. 2.11 (side 110-113): 1, 6, 22*, 39*, 47*, 48
Kap. 3.13 (side 133-135): 2*, 6, 44*, 45, 47, 52
Kap. 3.14 (side 143): 25

Øving 6, uke 8:
Kap. 2.10 (side 102): 15
Kap. 2.11 (side 111): 26, 27*
Kap. 2.13 (side 133-135): (merk teksten før oppg 1) 8*, 10, (merk teksten før oppg 16) 17, 49*, 51*
Kap. 2.14 (side 142-143): 6, 12*, 30, 31* (se def. i oppg 54 s. 59)
Kap. 2.15 (side 151-154): 1, 4, 35*, 36, 40*
Kap. 2.16 (side 159-160): 2, 13

Midtsemester-uker, uke 9 og 10:
Det blir ikke vanlige øvinger i uke 9 og 10, men her kommer noen oppgaver dere kan jobbe med i forberedelsene til midtsemesterprøven:

Fra boka:
Kap. 3.15 (side 151-153): 3, 28, 29
Kap. 3.16 (side 159): 1, 3, 6, 7, 10
Kap. 3.17 (side 164-165): 2, 3, 5

Eksamensoppgaver:
28. mai 2004: 1, 3, 5
7. august 2002: 3
5. desember 2000: 1, 2
2. desember 1992: 1, 4
2. desember 1991: 1, 4

Her finner dere en .pdf-fil med gamle eksamensoppgaver.

Det kan være lurt å arrangere en test for seg selv med fjorårets midtsemesterprøve.
Merk at denne prøven var litt liten, og dere må regne med en større arbeidsmengde på årets prøve.

Øving 7, uke 11:
Siden vi ikke har kommet ordentlig i gang med ringteorien ennå, tar vi et knippe teorioppgaver om gruppeteori hentet fra forskjellige steder i læreboka:

Kap. 1.4 (s. 48-49): 29, 31*, 35, 37*
Kap. 1.5 (s. 58): 50*, 52*
Kap. 1.6 (s. 67): 44*
Kap. 2.9 (s. 96): 34, 36*
Kap. 2.10 (s. 103): 36*

Og noen eksamensoppgaver:
12. august 2004: 2*
28. mai 2004: 2*
7. desember 2001: 1*

Øving 8, uke 12:
Kap. 4.18 (s. 174-177): 5, 6*, 8, 11*, 13, 23*, 28*, 34, 35, 37*, 38, 41*, 46, 49*, 54
Kap. 4.19 (s. 182-183): 1*, 2, 11, 20*, 26*, 29

Øving 9, uke 13:
Kap. 4.20 (s. 189-190): 1, 4*, 6*, 8*, 9, 10, 24, 27*, 28*
Eksamen 24. august 2000: 1*
Eksamen 28. mai 2004: 4*

101 og 113 er primtall, og vi ser at 7467*3 = 1 mod 11200. Anta at du poster (RSA-)nøkkelen (11413, 7467) på nettet sammen med informasjonen "space=100, a=101, b=102, etc.". En dag får du en e-post med de tre tallene 4654, 676 og 2931. Hva er det senderen forsøker å si deg?*
Les om RSA-koder i notatet om Eulers phi-funksjon.

Øving 10, uke 14:
Merk: Studenter som er på ekskursjon i uke 14 kan gjøre disse oppgavene i første uke etter påske. Den uken vil det bli gitt oppgaver fra Sylowteori, som er mest for MA2201-studenter.

Kap. 4.20 (s. 189): 11, 14*
Kap. 4.22 (s. 207-208): 1, 2, 3*, 6, 9*, 14, 17*, 22, 24*
Kap. 4.23 (s. 218-220): 1, 2*, 9, 12*, 26*, 36*

Øving 11, uke 16:
Merk: Oppgavene denne uken er bare til MA2201-pensum.

Kap. 7.36 (s. 326-327): 1, 3, 11*, 12*, 13, 17*, 22*
Kap. 7.37 (s. 333): 7*
Eksamen 23. mai 2001: 2*

Vis at hvis G er en endelig abelsk gruppe med n elementer, og r går opp i n, så har G en undergruppe med r elementer.*

Øving 12, uke 17:
For alle:
Kap 4.23 (s. 218-219): 6, 13, 14*, 34*
Eksamen 26. november 1999: 2*

For MA2201:
Kap. 7.36 (s. 326-327): 5*, 14*, 16, 18, 19
Eksamen 28. mai 2004: 6*

For TMA4150:
Kap. 5.26 (s. 244-245): 12, 13*, 14, 18, 22*, 24, 26*

Øving 13, uke 18:
Det blir ikke gitt spesielle oppgaver for MA2201 denne uken. Bruk tiden til å regne eksamensoppgaver, særlig de som skal gås gjennom på forelesningene.

For TMA4150:
Kap. 5.26 (s. 244): 25*, 27*
Kap. 5.27 (s. 252): 1, 7, 18

Vis at p(x)=x⁴+x³+x²+x+1 i polynomringen Z₂[x] er irredusibelt, og la F=Z₂[x]/<p(x)>. Finn en generator for den sykliske gruppa F\{0}. (Du kan ha nytte av Teorem 10.12 i Fraleigh.)

Vis at q(x)=x⁵+x²+1 i Z₂[x] er irredusibelt, og la E=Z₂[x]/<q(x)>. Finn en generator for den sykliske gruppa E\{0}.*