PDE 12: Den biharmoniske ligningen
Vi ser på det inhomogene tilfellet
\(\Delta^2 u = f(\mathbf{x}),\qquad \mathbf{x}\in\Omega\)
med \(\Omega\subset\mathbf{R}^d\). Her er \(\Delta\) Laplace-operatoren.
Løsningen underkastes randbetingelser
\( u(\mathbf{x})=\Delta u(\mathbf{x})=0,\quad
\mathbf{x}\in\partial\Omega\)
Spesielt skal du nøye deg med å se på tilfellet \(d=2\) dvs
\(\mathbf{x}=(x,y)\), og la i første omgang \(\Omega\) være et
rektangel. I kartesiske koordinater er
\(\Delta^2 u = u_{xxxx}+2u_{xxyy}+u_{yyyy}\)
Får du tid kan du også la \(\Omega\) være en disk med radius
\(1\), og se på ligningen i polarkoordinater.
Google-åte: Biharmonic equation, thin plate, biharmonic
operator, Laplacian, Matlab numgrid, Matlab delsq.