PDE 12: Den biharmoniske ligningen

Vi ser på det inhomogene tilfellet

\(\Delta^2 u = f(\mathbf{x}),\qquad \mathbf{x}\in\Omega\)

med \(\Omega\subset\mathbf{R}^d\). Her er \(\Delta\) Laplace-operatoren. Løsningen underkastes randbetingelser

\( u(\mathbf{x})=\Delta u(\mathbf{x})=0,\quad \mathbf{x}\in\partial\Omega\)

Spesielt skal du nøye deg med å se på tilfellet \(d=2\) dvs \(\mathbf{x}=(x,y)\), og la i første omgang \(\Omega\) være et rektangel. I kartesiske koordinater er

\(\Delta^2 u = u_{xxxx}+2u_{xxyy}+u_{yyyy}\)

Får du tid kan du også la \(\Omega\) være en disk med radius \(1\), og se på ligningen i polarkoordinater.

Google-åte: Biharmonic equation, thin plate, biharmonic operator, Laplacian, Matlab numgrid, Matlab delsq.