\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{a4}
\title{SIF 5064 Romlig Statistikk, \\ {\O}ving 2: Punktprosesser}
\author{}
\date{}
\setlength{\parindent}{0mm}
\setlength{\parskip}{1.5mm}

\begin{document}

\maketitle
%\Large{\bf Romlig Statistikk {\O}ving 3: Punktprosesser}
%\normalsize
\section*{Oppgave 1: Inhomogen Poisson prosess}
Vi skal i denne oppgaven se p{\aa} en inhomogen Poisson prosess med
intensitetsfunksjon
$$\lambda_{\theta}(x,y)=\mu \exp(-\alpha x -\beta y)$$
hvor $\theta=(\mu,\alpha,\beta)$. 

{\bf a.} Beregn forventningsverdi og varians
til antall punkter i denne modellen p{\aa} et enhets\-kvadrat.

{\bf b.} Simuler en inhomogen Poisson prosess med den gitte
intensitetsfunksjonen og 
$\theta=(200,2.0,1.0)$, betinget p\aa\ antall punkter. 
Pr\o v med forskjellig antall,f.eks $n=(20,50,100)$.

{\bf Splus tips : } Bruk \verb+par(pty=``s'')+ for \aa\ plotte figurene p\aa\ et kvadratisk
omr\aa de. 

{\bf c.}  Utvid algoritmen i b,  slik at du kan simulere ubetinget p\aa\ antall punkter,og
utf\o r simuleringen. 


{\bf d.}  En alternativ algoritme for ubetinget  
simulering, er basert p\aa\ p-tynning. For simulering p\aa\ enhets kvadratet, inneholder 
algoritmen f\o lgende skritt:
\begin{enumerate}
\item  Sett $$\lambda^*=\mathop{\bf max}_{ (x,y) \in [0,1]^2 }\lambda_{\theta}(x,y) $$
\item Simuler en homogen poisson prosess med intensitet $\lambda^*$.
\item Behold et simulert punkt $(x_n,y_n)$ med  sannsynlighet 
$$p=\frac{\lambda_{\theta}(x_n,y_n)}{\lambda^*}$$
\end{enumerate}
Implementer denne algoritmen ogs\aa, og benytt denne til simulering.
Hva er forskjellen p\aa\ denne algoritmen og den ifra  c..
Generellt sett hvilke fordeler/ulemper ser du ved denne 
algoritmen sammenlignet med den i c ?



{\bf e.} Sett opp ligningene som bestemmer maximum likelihood estimatorene for
parametrene $\theta=(\mu,\alpha,\beta)$ i modellen gitt over.
Likelihood-funksjonen er gitt ved
$$L(x_1,y_1\ldots,x_n,y_n;\theta)=\lambda_{\theta}(x_1,y_1)\ldots
\lambda_{\theta}(x_n,y_n)\exp[-\int_0^1 \int_0^1 \lambda_{\theta}(x,y)dxdy]$$
n{\aa}r vi er p{\aa} enhetskvadratet.

{\bf f.} Velg et punktm{\o}nster simulert ubetinget p{\aa} antall punkter 
fra modellen med parameterverdier gitt f{\o}r i
oppgaven, og finn maximum likelihood estimatene for parametrene
basert p{\aa} disse dataene. Plott den estimerte intensiteten med
funksjonen \verb+image+. 

{\bf g.} Kopier filene intest.s og integral.o fra katalogen
\verb+/local/kurs/romstat/+  Dette er kode
for {\aa} begregne ikke-parametrisk estimat av intensiteten basert
p{\aa} kjerneestimering, se Cressie (1993) side 600. 
Finn ut hvordan funksjonen intest.s virker,
og bruk den til {\aa} estimere intensiteten for det samme datasettet
som du brukte til maximum likelihood estimering. Test gjerne ulike
glattingsparametre. Plott intensiteten,
og sammenlign de to estimatene.
(NB V\ae r p\aa passelig med farge skalaene dersom du plotter
tethetene vha \verb+image+.)

\section*{Oppgave 2: Neyman-Scott prosesser}


I denne oppgaven skal vi se p{\aa} Neyman-Scott prosesser der antall 
barn er Poisson fordelt.
Som fordeling for barnas posisjon relativt til moren kan du velge en
symmetrisk normalfordeling (Thomas prosessen) eller uniform fordeling i
en sirkel med radius $R$ (Matern cluster prosess). 
Du kan lese om Neyman-Scott prosesser i Stoyan og Stoyan (1994)
kapittel 16.2.

{\bf a.} Simuler en Neyman-Scott prosess p{\aa} enhetskvadratet 
ubetinget p{\aa} antall punkter. Hva vil du gj{\o}re for {\aa}
unng{\aa} randeffekter? Varier parametrene i modellen og se hvordan
det virker inn p{\aa} punktm{\o}nstrene.


{\bf b.}En Neyman-Scott prosess med Poisson fordelt antall barn er
ekvivalent med en Cox prosess med intensitetsfunksjon 

$$\Lambda(r)=\omega\sum_{i=1}^{\infty}f(r-s_i)$$
hvor $\omega$ er forventet antall barn per mor, $f$ er fordelingen
til barnas posisjon relativt til moren og $s_i$ er posisjonen til mor
nummer $i$. 

En Cox prosess  er en ``inhomogen poisson prosess med 
stokastisk intensitet''. Hva er stokastisk i $\Lambda(r)$ ?
Hvordan vil du simulere $\Lambda(r)$ betinget p\aa\  antall (barn) punkter ?
Hvordan vil du g{\aa} fram dersom du skal simulere en Neyman-Scott prosess 
betinget p{\aa} antall punkter? (Du trenger ikke \aa\ utf\o re selve simuleringen)

{\bf c.} Beregn $L$-funksjonen for noen simulerte punktm{\o}nstre (se oppgave 3)
og sammenlign med teoretisk $L$-funksjon. 
NB!  Benytt \verb+ppregion+ til \aa\ initialisere punkt prosess
omr\aa det.
For Thomas-prosessen har vi

$$K(t)=\pi t^2+\rho^{-1}(1-\exp(-t^2/4\sigma^2))$$
hvor $\rho$ er intensiteten til mor-prosessen, og $\sigma^2$ er
variansen i fordelingen til barnas posisjon relativt til moren.
For Matern cluster-prosessen har vi
$$K(t)=\pi t^2+\rho^{-1}\times \left\{
  \begin{array}{ll}2+\pi^{-1}[(8z^2-4)\arccos z - 2\arcsin z &  \\
                   +4z\sqrt{(1-z^2)^3}-6z\sqrt{1-z^2}] & (t\leq 2R) \\
                    1 & (t>2R)
  \end{array} \right.
$$
hvor $z=t/2R$ og notasjonen ellers er som over.       

\section*{Oppgave 3: Strauss prosessen}

Last inn biblioteket ``spatial'' ved {\aa} bruke kommandoen
\verb+library(spatial)+
Her finnes blant annet funksjon for beregning av $L$-funksjon
($L(t)=\sqrt{K(t)/\pi}$) med ``envelopes'' og rutine for {\aa}
simulere Strauss prosesser betinget p{\aa} antall punkter. Relativt
til en binomisk prosess er den unormaliserte tettheten til
Straussprosessen her definert som $c^{s(x)}$ der $s(x)$ er antall
nabopar med avstand mindre enn en konstant $r$ og $c>0$.  

{\bf a.} Simuler Straussprosess med 50 punkter, $r=0.1$ og $c=0.01$,
$c=0.5$, $c=1.0$. Sammenlign punktm{\o}nstrene.  Pass p{\aa} at
alle punktm{\o}nstrene plottes p{\aa} samme skala. Beregn $L$-funksjon
med ``enveloper'' basert p{\aa} 99 simuleringer 
fra en Binominal prosess (Poisson prosess betinget p\aa\ antall punkter) 
for de tre f{\o}rste tilfellene. Hva forteller plottene?(NB! benytt \verb+ppregion()+ )
Hva skjer dersom $c >1$ hvis 1) vi betinger p\aa\ antall punkter 
2) dersom vi ikke betinger p\aa\ antall punkter.

{\bf b.} Beskriv hvordan Metropolis-Hastings algoritme kan brukes til {\aa}
simulere fra en Strauss-prosess betinget p{\aa} antall punkter. (Du
trenger ikke gj{\o}re det i praksis.)

{\bf c.} Beskriv korthvordan du ville ha  simulert en ubetinget Strauss prosess ved hjelp av en 
Metropolis-Hastings algoritme ? (Du trenger ikke gj{\o}re det i praksis.)

\section*{Oppgave 4: Analyse av punktm{\o}nstre}

I denne oppgaven skal vi se p{\aa} tre forskjellige
punktm{\o}nstre. To ligger i biblioteket ``spatial'', de heter
``cells.dat'' og ``redwood.dat''. Ett datasett ligger p{\aa} katalogen
\verb+/local/kurs/romstat/+ og
heter ``pines2.dat''. De kan alle leses inn med kommandoen
\verb+ppinit+ fra biblioteket ``spatial''. 

{\bf a.} Plott punktm{\o}nstrene. Unders{\o}k om Poisson antakelsen
holder for noen av punktm{\o}nstrene. Bruk forskjellige tester,
f.eks. $L$-funksjon med tilh{\o}rende enveloper, dispersion index
test, andre m{\aa}ter?

{\bf b.}Lag kode for \aa\ estimere $D$ funksjonen. Hvor $D$ er fordelingen 
til avstanden fra et punkt til n{\ae}rmeste nabopunkt. Plott denne for 
de tre eksemplene. Nyttige splus funksjoner er: \verb+dist()+ 
(samt funksjonen \verb+dist2full+ som beskrevet i hjelp for funksjonen \verb+dist()+) .
 \verb+apply( , ,min)+ som kan brukes til \aa\ finne kolonne/radvis minimum.

{\bf c.} Velg et punktm{\o}nster som ikke er Poisson fordelt og foresl{\aa} en
bedre modell. Fors{\o}k {\aa} estimere parametre i den foresl{\aa}tte
modellen. Sjekk modelltilpasning ved hjelp av $L$ og  $D$ funksjonen. 

Nyttige kommandoer:
\verb+nlmin+  ,\verb+integrate+ ,\verb+pplik+
Du trenger ikke benytte noen av disse.

\section*{References:}
 
Cressie; N.; 1993: Statistics for Spatial Data, Wiley \& Sons. 

Stoyan; D. and Stoyan; H.; 1994: Fractals, Random Shapes and Point Fields; Wiley \& Sons. Kap 11,12,13,15,16




\end{document}


%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: t
%%% End: 
