Dynamiske systemer 1998

Forelesninger og litt ekstra stoff

Hensikten er å oppdatere denne siden ukentlig, men det kan bli mer sporadisk i perioder.
1998-01-30 (to uker er gått)
Forelest fra notatet om fraktaler og kaos: Tre dobbelttimer om fraktaler, fraktal dimensjon og itererte funksjonssystemer, og en dobbelttime om kaos og bifurkasjoner med utgangspunkt i Verhulsts dynamiske system.
James Henstridge har satt sammen noen Java-programmer for å generere fraktaler. Spesielt den første delen, «IFS Fractals», er av interesse for oss.
I dagens forelesning demonstrerte jeg et Maple-dokument som viser en del av oppførselen til Verhulsts dynamiske system.
(Maple-dokumentet blir presentert fra serveren med MIMEtype application/maple-v-r4. Hvis du forteller Netscape at denne MIMEtypen skal håndteres av xmaple %s, vil Netscape automatisk starte opp maple når du klikker på linken. I Netscape 4 ordner du dette i Preferences-dialogen, under Navigator -> Applications. I hvert fall virker det slik under Unix. Under Windows er det kanskje annerledes.)
1998-02-09
Vi startet på Perkos bok, kapittel 1 om lineære systemer. Vi har vist hvordan de løses ved hjelp av eksponensialfunksjonen for matriser. Vi har vist hvordan løsningen kan forenkles når koeffisientmatrisen er diagonaliserbar, og også beregnet løsningen for en 2×2 Jordan-blokk, og for et fokus på standardform. Så vidt begynt på klassifikasjonsteorien for lineære systemer i planet.
1998-02-20
Olav Njåstad har vikariert i de siste tre forelesningene. Han har tatt for seg komplekse og multiple egenverdier og Jordan-form, og startet på stabilitetsteorien (avsnitt 1.9 fram til (men ikke inkludert) Theorem 2).
1998-02-23
Fortsatt om stabilitet for lineære systemer. Theorem 2 og 3 i avsnitt 1.9 er feil som de står. Jeg har laget en erstatning for disse to.
1998-02-27 (Starting next week, lectures will be in English.)
We started on Chapter 2 on nonlinear problems. First we attack existence and uniqueness questions. We proved the basic uniqueness theorem for the initial value problem of an autonomous first order system coming from a Lipschitz continuous vector field, and started proving the corresponding existence result.
1998-03-06
Defined the flow, and stated its properties. Proved most of them too, except that there is a bit left of the proof that it is differentiable if the vector field is.
1998-03-13
Defined equilibrium points and their linearization. Stated the stable manifold theorem, and started the proof.
1998-03-20 (This lecture was moved to Auditorium S1)
Finished the section on the stable manifold theorem.
1998-03-23/27 (Lectures this week by Olav Njåstad)
The theorems of Hartman-Grobman (without proof) and Hartman (from section 2.8). Stability and asymptotic stability, Liapunov functions (2.9). Definitions of center, center-focus, focus, node for nonlinear systems; use of polar coordinates (2.10).
1998-04-03
Done with section 2.10. We skip section 2.11. I lectured a bit on Hamiltonian systems. Please read the remainder of secton 2.12 on your own. I have also covered the basics of the Poincaré map, and used it in the proof of Theorem 5 of section 2.10 (which is wrong as stated, but correct if the definition of center-focus is generalized a bit). We shall, of course, also use the Poincaré map in Chapter 3.
1998-04-20
We are done with sections 3.2 and 3.3, and started on the proof of the Poincaré-Bendixson theorem (taken from Hirsch and Smale), with only an estimated 10-15 minutes remaining.
Plans
(Only one week left!) Finish 3.7 on Poincaré-Bendixson, add a comment on the stability criterion using the divergence of the vector field (Theorem 2), and spend the rest of the time on index theory (3.12).
Harald Hanche-Olsen
1998-04-20 16:12:46 UTC