Masteroppgaver Helge Holden
Norges teknisk-
naturvitenskapelige universitet NTNU |
Institutt for matematiske
fag |
Prosjekt- og masteroppgaver tilbudt av
Helge Holden
Løsning av ikkelineære partielle differensialligninger
Over en lengre periode er det studert en rekke ikkelineære partielle
differensialligninger. Spesiell vekt har vært lagt på hyperbolske
konserveringslover som bl.a. uttrykker massebevaring i kontinuerlige
mekaniske systemer. En hovedteknikk har vært frontfølgingsmetoden.
En rekke anvendelser har vært studert. Figuren nedenfor viser et sjokk som kommer inn fra
venstre og treffer en gassboble med lavere tetthet.
En rekke oppgaver er her mulig med varierende fokus hva angår
vanskelighetsgrad og bruken av numeriske hjelpemidler.
Oppgaver
- Bølger mot en strand. Bølger som bryter og slår mot en
strand er et komplisert fenomen. Oppgaven går ut på å gjøre et
litteraturstudium av fenomenet og programmere og utteste ulike
numeriske metoder.
- Flytende krystaller. Modeller for flytende krystaller
gir interessante ikkelineære partielle
differensialligninger. Oppgaven går ut på å gjøre et
litteratursøk på endel modeller for dette, og utlede noen av
dem. (Se også punktet om "Ikkelineær variasjonsbølgeligningen" nedenfor.)
- Gasstrøm i rør. En viktig anvendelse er å kunne
modellere gasstrøm i rør. Fordelen er at modellene ofte kan
tilnærmes som endimensjonale, og det gjør både den matematiske og
numeriske behandlingen enklere.
- Trafikkmodellering. En vanlig modell for tett trafikk er
hyperbolske konserveringslover (et vanlig eksempel, f.eks. i
Matematisk modellering). Dette kan utvides til en modell som
gjelder et nett av veier, f.eks. i en bykjerne. Oppgaven går ut
på å lage et simuleringsverktøy for en matematisk modell i dette
tilfellet.
- Frontfølger. Det er utviklet flere
frontfølgingsimplementasjoner, se f.eks. Holden and Risebro:
"Front Tracking for Hyperbolic Conservation Laws" for å løse
hyperbolske konserveringslover. Felles for
disse er at det må lages en Riemann-løser for den konkrete
ligningen som skal løses. Oppgaven går ut på å lage en slik
Riemann-løser for ulike ligninger.
- Høyere ordens frontfølging. Tradisjonelt er frontfølging
en førsteordens metode. Imidlertid kan den forbedres til en
annenordens metode. Minst to mulige oppgaver fins innen dette området:
For det første kan man studere første- og andreordens metodene
teoretisk på enklere skalare ligninger i en dimension. Alternativt
kan man implementere metodene på de fulle Euler-ligningene for
gassdynamikk i to eller tre dimensjoner og sammenligne dem
numerisk på noen modelleksempler.
- Ikkelineær variasjonsbølgeligningen. Denne ligningen
har formen
der u er den ukjente funksjonen og c(u) er en kjent
funksjon. Ligningen brukes som en modell for flytende krystaller. Dersom
c(u) er konstant, får vi den vanlige bølgeligningen. Men for
andre valg av c(u) er denne ligningen, som på engelsk heter
"the nonlinear variational wave equation", mye mer
komplisert. Oppgaven går ut på å studere noen klasser av
løsninger, og se på både analytiske og numeriske egenskaper.
En ny operatorsplittingsmetode
Nylig har jeg vært med på å utvikle en ny operatorsplittingsmetode (Se
arXiv0906.4902
for anvendelse på KdV-ligningen) for
ikkelineære partielle differensialligninger. Anta man ønsker å løse initialverdiproblemet
der C er en operator som kan være en differensialoperator i rommet.
En vanlig fremgangsmåte for å løse denne ligningen er å dele den opp i
to ved å skrive
og deretter å løse ligningene
og
etter hverandre for små tidsskritt. Et eksempel er ligningen
og
Den første ligningen (med A) er varmledningen (der man har eksplisitt
løsning). Den andre ligningen (med B) er lineær transport, også med
eksplisitt løsning. For mer kompliserte ligninger kan ligningene med
A og B ha svært forskjellige egenskaper, og dermed også ulike
numeriske egenskaper. Typiske eksempler er mange ikkelineære
ligninger.
Flere oppgaver er mulige:
- Teori: Arbeidet linket til ovenfor gir et rammeverk som kan
benyttes på andre ligninger enn KdV-ligningen (Korteweg-de Vries
ligningen), f.eks. Boussinensq-ligningen og den ikkelinære
Schrödinger-ligningen.
- Anvendelse: Man kan også anvende dette rammeverket på
numeriske metoder. Her kan sette opp numeriske metoder for
KdV-ligningen, og se hvordan metoden virker numerisk.
- Litt av begge deler: Man kan analysere teoretisk de
numeriske metodene for KdV-ligningen.
Masteroppgaver ved SINTEF Anvendt matematikk
Instituttet har nært samarbeid med SINTEF Anvendt matematikk
(Oslo/Trondheim). Det er mulig å ta masteroppgaven i samarbeid med
dem. Se Geoscale
og Heterogeneous
computing. Ta kontakt med meg for nærmere diskusjon av mulige oppgaver.
Masteroppgaver ved Statoils forskningssenter
Det er mulig å ta masteroppgaven i samarbeid med
forskere ved Statoils forskningssenter (Rotvoll), Trondheim. Ta
kontakt med meg for nærmere diskusjon av mulige oppgaver. (Statoil
krever et karaktergjennomsnitt på B eller bedre.)
Masteroppgaver ved Schlumberger (Oslo og Stavanger)
Schlumberger er verdens største utvikler av
reservoarsimuleringsverktøy, og har utviklingsavdelinger i Oslo og
Stavanger. Noen mulige oppgaver er beskrevet i følgende
dokument. Om
du er interessert i noen av disse, vennligst ta kontakt med meg.
|