MA1101 Grunnkurs i analyse I – høst 2007

Forelesningslogg

Her vil dere finne en oversikt over hva som er blitt gjennomgått til nå, og hva som er tema på neste forelesning.

Fredag 16/11: I dag startet jeg med snakke om løsningen i tilfelle (III) på faseform. (På Figur 10.5.1 er det en trykkfeil: Står \(C^2-D^2\) i stedet for \(C^2+D^2\).) Regnet oppgavene 8b) og c). Videre gjennomgikk jeg oppgavene 6("baklengs"-oppgave) og 9(harmoniske svingninger). Siste tema i MA1101 er seksjon 10.6 til Variasjon av parmetre. Her fikk jeg tatt to eksempler med spesielle høyresider.
På tirsdag avslutter jeg 10.6 med et eksempel på resonans og forsøker å begrunne at "tippemetoden" faktisk er en metode! Deretter starter jeg på en repetisjonsrunde i pensum. På referansgruppemøtet var det stemning for repetisjon rundt de vanskeligste temaene i pensum i stedet for å regne gamle eksamensoppgaver. Spørretjenesten i tida fram mot eksamen vil snart bli annonsert!
Tirdag 13/11: I dag fortsatte jeg å snakke om 2.ordens lineære diff.ligninger med konstante koeffisienter(10.5). Det jeg gjorde - og litt til- finnes i notatet som er lagt ut på hjemmesida. NB! Formlene vi utledet står også nederst på Formelarket. Regnet oppgavene 10.5.1a), 10.5.2a), 10.5.3a), 10.5.2c) og d). Til den siste føyde vi også et initialverdiproblem!
På fredag starter jeg med å skrive løsningene med sinus og cosinus på faseform, se s.538. Deretter ser vi på annenordens inhomogene ligninger, seksjon 10.6. Så er det stopp med nytt stoff! Neste uke rekapitulerer vi pensum og ser på noen gamle eksamensoppgaver etter ønske fra dere. (Det er som tidligere annonsert referansegruppemøte fredag kl.14.15.)
Fredag 9/11: Fullførte oppgave 10.2.12. (Diskuterte litt rundt oppgave 10.2.11 som er gitt på øving.) Gjennomgikk separable differensialligninger; startet med å løse \(y' - ky=0\) både som 1.ordens lineær og som separabel. Ikke alle likte "omdøping" av konstantene, så kommer tilbake til dette. Regnet oppgave 10.4.2b). I annen time startet jeg 2.ordens lineære d.l. med konstante koeffisienter, seksjon 10.5. Tok fjæreksempel. Viste Lemma 10.5.1 og startet opp tilfellene I(hovedsaklig), II og III. Notat som ikke bruker komplekse tall er lagt ut på hjemmesida. Gjennomgår dette neste gang.
Tirsdag 6/11: I dag fortsatte jeg med 1.ordens lineære d.l. Regnet oppgavene 10.3.7 og 10.1.10. Viste eksistens og entydighet ved å ta utgangspunkt i formelen for alle løsninger i setning 10.1.3. Kommenterte også bokas bevis for setningen. Regnet oppgave 10.2.3 og stilte opp diffligninga i 10.2.12.
Fredag 2/11: I første timen fortsatte jeg med integrasjon av rasjonale funksjoner. Fullførte eksamensoppgave 9.3.8 og regnet også eksamenoppgaven 9.3.20. Viktig å få med seg "oppskriften" hos Lindstrøm! I annen time startet jeg med i.ordens lineære differensialligninger og metoden med integrerende faktor. Anbefalte å huske/forstå metoden i stedet for å pugge sluttformelen.
Tirsdag 30/11: I dag ville jeg vise eksempler på rekursjonsformeler i fbm delvis integrasjon og regnet oppgave 9.1.20. Jeg viste setning 9.2.3, setningen om "invers substitusjon". I praksis bruker vi denne uten å tenke spesielt over det. Men legg merke til bemerkningen nederest på side 441. Til slutt begynte jeg å fortelle om hvordan vi integrerer rasjonale funksjoner. Gjorde delbrøkoppspaltingen i oppgave 9.3.8.
Fredag 26/11: I dag startet jeg med å regne eksamensoppgavene 8.6.15 og 8.6.26. Deretter rekapitulerte jeg delvis integrasjon, og minnet om gamle knep som nå har større bruksområde nå enn i vgs! Lindstrøm gjør kanskje vel mye ut av "invers substitusjon". Jeg viste hvordan Eksempel 9.2.2 også kan løses ved vanlig substitusjon der vi "smugler" inn den deriverte vi trenger.
Tirsdag 23/10: I dag startet jeg med å kommentere Korollar 8.5.4. Gjennomgikk oppgave 8.5.5, påpekte at 8.5.4 leder til et uegentlig intergral og bør annuleres mens 8.5.3 gis på øving 9. Fikk endel hadde gode spørsmål og kommentarer til denne oppgavetypen som faller noe vanskelig. Så bra! I annen time så vi på anvendelser av integralet og tok for oss seksjon 8.6. Regnet oppgave 8.6.9. Når det gjaldt punkt b) regnet jeg denne ved skivemetoden brukt på y-aksen og ved sylinderskallmetoden basert på x-aksen.
Fredag 19/10
: Jeg skrev først opp endel derivasjonsregler for integral ut fra Analysens fundamentalteorem. (Disse blir nyttige på 8.øving.) Deretter viste jeg innsettingsformelen Korollar 8.3.4 og regnet noen eksempler før jeg gikk over til det ubestemte integral og seksjon 8.4. Her regnet vi oppgave 8.4.2. Til slutt introduserte jeg Riemannsummer og referte Teorem 8.5.3 som sier at Riemannintegralet er sammenfallende med vårt gamle integral(Darbouxintegralet).
Tirsdag 16/10: I dag gikk vi løs på seksjon 8.3 og spesielt Analysens fundamentalteorem. De som er teoretisk interesserte kan merke seg at vi ved å se på h>0 og h<0 hver for seg i beviset, får at F(x) har hhv høyre- og venstrederivert i a og b. Altså er F kontinuerlig i endepunkene. (En antiderivert til f på det lukkede intervallet skal ha f som derivert i det indre og være kontinuerlig i endepunktene.) Erfaringsmessig faller det vanskelig å forstå hvordan teoremet brukes, så jeg prøvde å gi endel eksempler.
Tirsdag 9/10: Dagens program var seksjon 8.2, dvs. vi definerte for begrensede funksjoner f på et begrenset lukket intervall øvre og nedre integralet ved hjelp av inf og sup av hhv øvre og nedre trappesummer. Når disse faller sammen, sier vi at f er integrerbar og snakker om integralet av f. (Eksempel på begrenset funksjon som IKKE er integrerbar ble gitt.) Denne måten å definere integralet på skyldes Darboux, men har forløpere tilbake til Arkimedes og antikken. Enhver monoton - og stykkevis monton - funksjon er integrerbar. Gjennomgikk oppgave 8.2.6.
Fredag 5/10: Startet med å regne oppgave 7.4.3. Viktig eksempel! Deretter gikk jeg gjennom seksjon 7.5(cotangens) som vi tar litt lett på, før jeg gikk løs på arcusfunksjonene. Merk hvordan vi restrikterer sinus, cosinus, tangens og cotanges for å skaffe oss funksjoner som har en invers. Til slutt repeterte jeg litt med tanke på MSP, og det ble lagt ut en liste med stikkord og referanse til øvingene.
Tirsdag 2/10: I dag gjennomgikk jeg koblede hastigheter og spesielt eksemplene 7.2.1 og 7.2.2. Resten av dobbeltimen brukte jeg på seksjon 7.4 og omvendte (eller inverse) funksjoner. Viktig å få tak i begrepene injektiv og omvendt funksjon! Regnet oppgavene 7.4.1a) og 7.4.3.
Fredag 28/9: I dag gjennomgikk jeg asymptoter (Seksjon 6.5) i første time . Regnet oppgavene 6.5.2 og 6.5.6. I annen time så jeg på max-min problemer. Gjennomgikk Eksempel 7.1.1 ved å gjøre kvadratet fullstendig i stedet for å derivere. Regnet oppgave 7.1.3 ved derivasjon og funksjonsdrøfting. Tok deretter den elegante geometriske løsningen! Viste eksempelet med Snells lov i boka. (Lindstrøm bekymrer seg kun om å finne punkter der den deriverte er 0. Vi bør nok ha med litt mer! Hva skjer i endepunkene om vi er på lukket intervall, stigningsforhold om vi ikke er på lukket intervall.)
Tirsdag 25/6: Startet med å bevise et spesialtilfelle av L'Hopital og regnet deretter oppgave 6.3.7 og andre eksempler. (Det står også mange gode eksempler i boka som jeg overlater til dere å lese.) Deretter kommenterte jeg språkbruken i seksjon 6.4: lokale/globale/maksima og minima, konvekse og konkave funksjoner. Seksjonen 6.4(og 6.5) er ellers i stor grad selvstudium.
Fredag 21/9: I dag hadde vi besøk av Tom Lindstrøm i 2.time. (Håper det var litt oppmuntrende!) I 1.time gjorde vi oss først ferdige med konsekvensene av Setningen om lineær approksimasjon og MiddelVerdiTeoremet(Sekantsetningen). Regnet oppgave 6.2.7 som er ganske typisk for anvendelse av MVT. Deretter skrev jeg opp L'Hospitals regel for "\(0/0\)" og "\(\infty / \infty\)". For andre ubestemte utrykk prøver vi å omskrive slik at vi kan bruke disse. Regnet 6.3.2b).
Tirsdag 18/9: I dag avsluttet jeg først seksjon 6.1. Tok for meg Setning 6.1.7 og kommenterte Eksempel 6.1.8. Med Setning 6.1.7 kan en nokså lett gi et fullstendig bevis for Kjerneregelen. Står til slutt i seksjonen. Deretter gjennomgikk jeg Middelverdisetningen (VIKTIG) og fikk såvidt tid til Korollar 6.2.4 som blir essensielt når vi kommer til integral!
Fredag 14/9: Måtte flytte til EL5 og hadde besøk av nettstudentene. Startet ut i seksjon 5.4 der jeg repeterte definisjonen av at en funksjon er kontinuerlig i et punkt, og sammenholdt denne definisjonen med definisjonen av grense. Så også på ensidige grenser og grenseverdisetninger. Gikk så over til seksjon 6.1 og deriverbare funksjoner. Definisjon, fortolkninger og symboler ble presentert. Regnet oppgavene 6.1.10 og 6.1.3a). Avsluttet timen med å introdusere logaritmisk derivasjon.
Tirsdag 11/9: Snakket litt mer om Skjæringssetningen som (selvfølgelig!) bunner i Kompletthetsprinsippet. Kommenterte Eksempel 5.2.4. Deretter snakket jeg om Ekstremalverdisetningen og skisserte bevisene for setningene 5.3.2 0g 5.3.5: Metoden med halvering av intervall. Igjen bunner setningene i Kompletthetsprinsippet, eller mer presist i at monotone begrensede følger er konvergente. Til slutt snakket jeg litt om grenser og tok epsilon -delta definisjonen. Merk at denne definisjonen IKKE krever at funksjonen er "definert i punktet, kun i nærheten av punktet". En variant av Eksempel 5.4.2 ble gjennomgått.
Fredag 7/9: Startet med å definere hva det vil si at en følge divergerer mot pluss/minus uendelig. Har regneregler for divergente følger "som før". Så gikk jeg over til å snakke om Eksempel 4.3.10. Dette er et viktig eksempel - og forhåpentligvis også interessant! Til slutt definerte jeg kontinuitet av f i et punkt a i definisjonsområdet v.hj.a. epsilon-delta. Vi brukte definisjonen til å vise at en lineær funksjon er kontinuerlig i et vilårlig punkt, og at det samme gjelder for x^2. (Her valgte vi delta i to omganger.) Grenseverdisetninger fra vgs. Videre merket vi oss Setning 5.1.10. Finner det gjerne naturlig å ty til følger når vi skal vise at en funksjon er DISkontinuerlig i et punkt. Skjæringssetningen ble nevnt; anvendelsene å Øving 3 er helt rett fram!
Tirsdag 4/9: Startet med kompletthetsprinsippet i 2.3. Gjorde bl.a. en utvidet versjon oppgave 2.3.2. (Viste aksiomene for de reelle tall som i 2.4 påtransparent og kommenterte disse.) Så gikk jeg over til å snakke om følger og konvergens av følger som i 4.3. Siterte regnereglene og viste den første. Regnet oppgavene 4.3.2a) og 4.3.3c).
Fredag 31/8: Startet med trekanulikheten i seksjon 2.1. Snakket deretter om 2.2 og viste Teorem 2.2.4 som indikert i oppgave 8. Regnet også oppgavene 2.2.2c og d. (Husk trikset med 3.kvadratsetning!) Tok for meg terminologien i seksjon 2.3 og fikk definert sup A og inf A.
Tirsdag 28/8: Startet med å gjennomgå seksjon 1.5, polynomer og polynomdivisjon. (Dette er stoff som har gått litt inn og ut av pensum i vgs.) Foruten eksempler regnet vi oppgavene 1.5.2b) og 1.5.4. Gikk så over til temaet reelle tall og seksjon 2.1. Understreket forskjeller i intervallbetegnelser sammenlignet med vgs. Fikk introdusert tallverdien der jeg også la vekt på en geometrisk fortolkning, dvs. at tallverdien av (a-b) er avstanden mellom a og b.
Fredag 24/8: Fra seksjon 1.2 tok vi for oss induksjonsprinsippet og så på anvendelse av dette i et eksempel.Lærebokas versjon 2 av induksjonbeviset ble ikke drøftet i detalj. (Seksjon 1.3 om kombinatorikk og sannsynlighet ble ikke gjennomgått - ikke pensum i MA1101.) Siste timen så vi på Pascals talltrekant og binomialformelen i seksjon 1.4. Vi så på en anvendelse av talltrekanten og ga et kombinatorisk bevis for binomialformelen.
Helt til slutt minnet foreleser om at det ligger mange undervisningsvideoer tilgjengelig på http://moodle.math.ntnu. no. For å få tilgang til disse, må man registrere seg med selvvalgt brukernavn og passord, og man trenger en sikkerhetsnøkkel. Nøkkelen ble oppgitt på forelesningen.
Tirsdag 21/8: Det meste av forelesningstida denne dagen gikk med til en spørreundersøkelse og til Norsk matematikkråds test. Fra seksjon 1.1 gjennomgikk vi aritmetikkens fundamentalteorem, og vi repeterte summenotasjonen.

Sist oppdatert: 20.03.2017 15:08