TMA4165 2007: Forelesninger

Uke 2: Innledning og start på kapittel 1.

2007-01-09: Åpningsforelesningen var forsøksvis motiverende. Jeg prøvde å si litt om hva som kommer, og startet litt på kapittel 1.

2007-01-10: Hele dobbelttimen gikk med til å snakke om entydighet og eksistens for generelle systemer av ordinære differensialligninger. Dette er viktig i den forstand at alt vi skal gjøre hviler på dette grunnlaget i teorien, men også uviktig i den forstand at det er tilstrekkelig å forstå teoremene uten å beherske bevisene.

Jeg har skrevet et lite notat som forklarer noe av innholdet i denne forelesningen (pdf): 6 A5-sider (passer for skjerm) eller 3 A4-sider. Jeg regner ikke dette som obligatorisk lesning. (Jeg skrev det på engelsk fordi erfaringen viser at om jeg skriver på norsk, blir det før eller siden spørsmål om en engelsk utgave.)

Uke 3: Kapittel 1 fortsatt.

2007-01-16: Avsnitt 1.3 og 1.4 pluss litt om 1.5.

2007-01-17: Avsnitt 1.5, 1.7 og 1.8. (Kikk på 1.6 på egen hånd, ikke bruk for mye tid på det.)

Uke 4: Startet på kapittel 2.

2007-01-23: Mest avsnitt 2.1. Generelt om faseplanet for et gitt autonomt system, som essensielt er området der systemet er definert delt opp i fasekurver. Og en fasekurve er en plan mengde {(x(t),y(t)): t∈I} der (x,y) er en løsning til systemet og I er et maksimalt eksistensintervall for løsningen. Jeg brukte en del tid på å forklare hvorfor to fasekurver enten er disjunkte eller identiske (konsekvens av entydighet og autonomi). Noen fasekurver degenererer til et punkt: Dette er fikspunktene, også kjent som stasjonære punkt, likevektspunkt eller singulariteter. For de andre fasekurvene spesifiserer vi også retningen.

Jeg regnet eksemplet i avsnitt 2.1 og brukte det som et eksempel på hva jeg kalte linearisering for fotgjengere.

Helt til sist skrev jeg opp lineariseringsteoremet, også kjent som Hartman og Grobmans teorem. Her er en utgave svakt forskjellig fra den jeg skrev opp:

Teorem. Anta gitt et system x′=f(x) der f: Ω→Rⁿ er kontinuerlig deriverbar på en åpen mengde Ω⊆Rⁿ. Anta at x₀ er et likevektspunkt og la A=Df(x₀) være Jacobi-matrisen til f i x₀ (en n×n-matrise). Anta at ingen av egenverdiene til A har realverdi null. Da finnes en omegn U om 0 i Rⁿ og en omegn V om x₀ og en homeomorfi φ: U→V slik at φ(e^tAu₀) løser systemet for hver u₀∈U og tilstrekkelig små t.

En homeomorfi er en kontinuerlig avbildning som også har en kontinuerlig invers. Teoremet sier at dynamikken til det opprinnelige systemet ser akkurat ut som dynamikken for lineariseringen i en omegn rundt likevektspunktet.

Uke 5: Jeg har herjet en del med en nærmere analyse av ikkelineære likevektspunkter i planet. Dette står ikke i læreboken, så jeg har laget et lite notat om det: 8 A5-sider (passer for skjerm) eller 4 A4-sider (for utskrift).

Uke 6: (Jeg havnet på etterskudd med disse notatene, så dette skrives midt i uke 7, med utfylling i uke 8 – med fare for at detaljene glipper.) Jeg har gjort meg ferdig med kapittel 2 og notatet fra uke 5. Mens jeg vurderer hvordan jeg best kan presentere resultatene rundt Hartman–Grobman-teoremet, har jeg funnet det greiest å gå i gang med kapittel 3, om indeksteori. Først og fremst definisjonen: Gitt et kontinuerlig vektorfelt (X,Y) som er uten nullpunkter langs en lukkket kurve Γ så kan vi skrive

(X,Y)=R(cos φ, sin φ)

hvor R>0 og φ er kontinuerlig langs Γ. Funksjonen φ er da entydig, opp til addisjon av et konstant heltallig multiplum av 2π, og indeksen til Γ med hensyn på det gitte vektorfeltet er økningen i φ langs Γ, dividert med 2π.

Jeg argumenterte for at indeksen ikke endres når kurven Γ deformeres kontinuerlig til en annen kurve, forutsatt at vi hele tiden holder oss til lukkede kurver og aldri treffer et likevektspunkt.

Endelig definerte jeg indeksen til et punkt som indeksen til en tilstrekkelig liten kurve som går en gang rundt punktet i positiv omløspretning, og argumenterte for at i det minste en lineær node eller fokus har indeks +1, mens et lineært sadelpunkt har indeks −1.

Uke 7: Jeg holdt meg innenfor kapittel 3. Jeg argumenterte for at et likevektspunkt der matrisen til lineariseringen ikke har null som egenverdi, er indeksen til likevektspunktet lik indeksen til lineariseringen. (Kort fortalt: Om vektorfeltet heter Z og likevektspunktet er i origo, kan vi skrive Z=Az+o(|z|). I nærheten av origo vil da det lineære leddet Az ha større lengde enn restleddet, så Z og Az kan aldri peke i motsatt retning. Det er nok til å gi samme indeks.) Jeg regnet eksempel 3.3 i nokså stor detalj, og lærte bort en litt annen regneregel enn den om å telle antall ganger tan φ=Y/X skifter fortegn mellom +∞ og −∞: Tell heller antall ganger (X,Y) krysser den positive Y-aksen i hver retning. (Eller den negative, eller ditto for X-aksen.)

Da vi kom til avsnitt 3.2 om indeksen i ∞ kunne jeg ikke dy meg for å introdusere stereografisk projeksjon, som avbilder hele planet til enhetskuleskallet med unntak av nordpolen. Nordpolen spiller da rollen som det uendelig fjerne punktet. Hvis vi så projiserer kuleskallet tilbake på planet, men nå med utgangspunkt i sydpolen, er sammensetningen av de to avbildningene en inversjon gjennom sirkelen i planet: Den sender (x,y) på (x/r²,y/r²). Men fordi den klassiske inversjonen snur orienteringen (den er tross alt en slags ikkelineær speiling om sirkelen) foretrekker vi heller å avbilde (x,y) på (x/r²,−y/r²). Om vi skriver z=x+iy så svarer dette vil vanlig invertering av det komplekse tallet z. Et system skrevet på kompleks form: z′=Z(z) blir til w′=-w²Z(1/w) ved substisjonen w=1/z, og dette leder til formelen I_∞=2−I_Γ for en vei Γ som går en gang i positiv omløpsretning rundt en tilstrekkelig stor sirkel. Som følge av det: Om et vektorfelt har bare et endelig antall singulariteter (som er likevektspunkter og punkter hvor feltet er udefinert eller diskontinuerlig), så er summen av indeksen i alle de singulære punktene inklusive ∞ lik 2.

Vi hopper like greit over avsnitt 3.3, men jeg nevnte i farten at projeksjonen i 3.3 er en gnomonisk projeksjon (etter gresk γνωμονική, som visstnok er noe slikt som kunsten å lage måleskalaer).

Uke 8: Jeg gjorde meg omtrent ferdig med kapittel 3: Grensesykler og Bendixsons negative kriterium (jeg sa vel noen ord om det i forrige uke og). (Her burde jeg fylle inn litt flere detaljer.)

Uke 9–10: Tiltaksuker. Ingen regulær undervisning.

Uke 11–12: Fraktaler og kaos.

Uke 13: Jeg gikk gjennom en god del av kapittel 8: Poincaréstabilitet og Liapunovstabilitet, og lineære systemer med variable koeffisienter. Angående det sistnevnte temaet, synes jeg J&S gjør dette unødig tungvint, så jeg har skrevet opp en kort (kanskje for kort?) versjon av teorien for løsningen til disse systemene: 2 A5-sider (passer for skjerm) eller 1 A4-side

For øvrig tror jeg vi skal hoppe over begrepet uniform stabilitet i kapittel 8: Dette begrepet introduseres på side 288, men det er problemer med definisjonen og bruken av den. For eksempel mener jeg at påstanden aller nederst på side 288 er feil. Se for eksempel på systemet (jeg bruker ′ i stedet for prikk på web) x′=x², y′=−y og betrakt løsningen (x,y)=((−1/t),0) definert for t>0. Det skulle være klart at systemet er autonomt, og at løsningen er Liapunovstabil. Men den er ikke uniformt stabil med definisjonen som er gitt i boken: Gitt en δ>0 og t₀>1/δ så vil en δ-omegn om (x(t₀),y(t₀)) stikke ut i høyre halvplan, og løsninger som starter der divergerer vekk fra løsningen vi ser på.

Uke 14: Påskeferie.

Uke 15: Forelesning bare onsdag. Jeg tok for meg Poincaré–Bendixson litt grundigere, basert på et notat jeg skrudde sammen i påsken: 4 A5-sider (passer for skjerm) eller 2 A4-sider.

Uke 16: Kapittel 10. Jeg har valgt å hoppe bukk over den todimensjonale teorien, med topografiske systemer og alt det der, i avsnitt 10.2–10.4. I stedet gikk jeg direkte løs på den mer generelle n-dimensjonale teorien i avsnitt 10.6–10.7. Men så gikk jeg tilbake og tok det vesentlige innholde i 10.5, om hvordan en svak Liapunovfunksjon kan gi asymptotisk stabilitet (i to dimensjoner, og med noen ekstra antagelser). Men la oss ignorere Theorem 10.10 på side 362: Jeg forstår ikke hva forfatterne prøver å si med det teoremet.

La meg forsøke å forklare essensen i avsnitt 10.5 slik jeg ser det: Gitt en svak Liapunovfunksjon V så er det klart at V er konstant på enhver lukket bane for systemet. Hvis det finnes en omegn W om likevektspunktet i origo uten noen lukkede baner (annet enn origo selv), så er systemet asymptotisk stabilt. Beviset bruker stabilitet: Hvis vi starter nær nok origo, er fremtiden til banen innenfor W. Omega-mengden til banen må enten inneholde et likevektspunkt (og origo er eneste kandidat), eller en lukket bane (ved Poincaré–Bendixson), og når det siste er utelukket, gjenstår første mulighet. Av beviset for teorem 10.12 ser vi at asymptotisk stabilitet følger. Men vær oppmerksom på at dette er et rent todimensjonalt resultat, fordi det avhenger av Poincaré–Bendixson.

Da jeg vel var ferdig med ovenstående, var det ikke nok tid til det neste temaet jeg hadde planlagt, så i stedet viste jeg teorem 10.17 som et slags stunt. Jeg kom nok i mål, men tok bare tilfellet med en reell, positiv egenverdi. Tilfellet med komplekse egenverdier med positiv realdel kan håndteres likedan. (Jeg skal ikke gjøre noe nummer ut av å gjennomføre beviset.)

Uke 17: Tirsdagen brukte jeg en Liapunovmetode til å vise en forbedring av Theorem 10.17 i J&S, altså instabilitet når en egenverdi har positiv realdel. Forbedringen gikk ut på at vi ikke trenger at 0 ikke er en egenverdi. Jeg har nå skrevet opp dette i et nytt notat: Linearization at equilibrium points (6 A5-sider/3 A4-sider).
Deretter tok jeg for meg Liénardsystemer (avsnitt 11.3 i J&S).

Uke 18: Kun én forelesning (onsdag 2. mai).

Uke 19: Tirsdagstimeplan både tirsdag og onsdag: Den første erstatter 3. påskedag, den andre erstatter tirsdag 1. mai. Og så er det ikke mer.

Harald Hanche-Olsen Oppdatert: 2007–05–10 19:06