MA1103 Flerdimensjonal analyse – vår 2008

Forelesningslogg

Her vil dere finne en oversikt over hva som er blitt gjennomgått til nå, og hva som er tema på neste forelesning.

07.05: Først forsøkte jeg å forklare at fundamentalteoremet fra MA1101, Green, Stokes og divergensteoremet henger sammen! ( I"virkeligheten"- analyse på mangfoldigheter- er det ett teorem.) Dernest kommenterte/regnet jeg oppgaver på stoffet før MSP på kontene. Så også på en oppgave i bruk av kjerneregelen som kanskje ikke sitter så godt? Hadde ment å legge ut notater før jeg drar til USA, men rekker det ikke. Bare spør når jeg er tilbake 19.mai!
02.05: Manus til forelesningen ligger her.
25-26.04: Gikk mer eller mindre etter planen! (Se nedenfor.) 2.mai oppsummerer vi pensum etter MSP, 7.mai går vi tilbake til pensum før MSP. Vil forsøke å illustrere teorien med enkle eksempler og gamle eksamensoppgaver.
18.04: Fortsatte med Green, nå generell versjon (16.3) Regnet et par oppgaver og poengterte at kurven(e) må være lukket, altså omfatte HELE randa i Greens teorem. Så også på Example 3 som viser at om integranden i dobbeltintegralet svikter i ETT PUNKT, kan det være avgjørende for svaret. Legg merke til dette eksempelet; det kommer igjen i flere sammenhenger! Til slutt omskrev jeg Green til curlform og presenterte den mer generelle setningen i rommet (Stokes). Jeg skrev også opp divergensteoremet.

Neste gang snakker Steffen Junge om divergensteoremet(16.4), mens jeg skal være tilbake på fredag og tar for meg 16.5 (og en "dæsj" 16.6). Ferdig med pensum! Ingen forelesninger 1.mai, men fredag 2.mai blir det kaker med teoremer på!!! Siste forelesning er onsdag 7.mai som kommer i stedet torsdag 1.mai, mens 5. og 6.mai kommer i stedet for 2. og 3.dag påske: Alle skal ha 14 undervisningsuker!
17.04: Fluks, divergens, curl (utdrag 16.1-16.2) Beviste Greens setning på et rektangel.
11.04: Definerte generelle flateintegral som i 15.5. For z =0 har vi sett dette før! ( Variabelskifte som i seksjon 14.9.) Så spesielt på de viktige eksemplene fra i går..Regnet nr. 16. Så også på forstørrelsesfaktoren når flaten er en nivåflate - kan være nyttig å ha i visse sammenhenger. Gikk så løs på orienterbare flater og fluksintegralet i 15.6.
Avsluttet med å gjennomgå oppgave 15.6.4. Dette gikk litt vel fort, så jeg legger ut et løsningsforslag.
10.04: I dag gjorde jeg meg ferdig med linjeintegralet i 15.5. Gikk gjennom Theorem 1. Merk Remark på s.829. Dette resultatet er viktig og nyttig! Regnet oppgavene 2 og 9. Deretter tok jeg for meg definisjonen av parametriske flater i 15.6. Viktige eksempler: z = f(x,y), kuleflater, sylinderflater.
04.04: Regnet oppgave 15.2.10 på samme måte som Example 4 i boka. Så også på Example 5; "kommer ikke rundt origo på en kontinuerlig måte". Definerte sammenhengende og enkeltsammenhengende områder. Innførte kurve(linje)integral (15.3, 15.4). Avsluttet med å regne oppgave 15.4.4 og så også at med en rett linje som integrasjonsveg får vi et annet svar!

Mer om dette neste gang. I tillegg til å fullføre 15.4 vil vi da snakke om flateintegral i 15.5.
03.04: I dag snakket jeg om vektorfelt(15.1, gradientfelt og potensialfunksjoner(15.2). Etablerte nødvendige betingelser for at et felt skal være et gradientfelt. Annonserte også "Vektoranalysens fundamentaltoerem". (Vises 10.04.)
28.03: Rekapitulerte substitusjonsformelen i to variable og presenterte generaliseringen til tre variable. Regnet oppgave 5 Eksamen MA1103 des. 2005(variabelskifte a la Example 8 i 14.4). Gjennomgikk utvalgte deler av seksjon 14.7: overflateareal av en graf, momenter og massesentra.
27.03: Startet med å regne ut volumet av halvkula ved sylinderkoordinater, og deretter ved kulekoordinater. Snakket litt mer om kulekoordinater (14.6). Så også på den generelle substitusjonsformelen i seksjon 14.4.
14.03 \(\pi\)-dagen: Rekapitulerte litt om dobbeltintegralet, regnet oppgave 14.4.21 og startet på trippelintegralet i seksjon 14.5. Et Theorem 2 som i 14.4 mangler i boka: Vi har også en setning om trippelintegral over standardområder, som nå er romlige figurer begrenset av to flater over et standardområde i xy-planet ( yz-planet, evt. zx-planet), og der funksjonene som inngår er kontinuerlige. Trippelintegralet kan da beregnes ved først å integrere mhp z (x evt. y) og så dobbeltintegrere over projeksjonen av den romlige figuren i xy-planet (yz-planet, evt. zx-planet). Sylinderkoordinater er da lite nytt i forhold til polarkoordinater!
22.02: Startet med å sannsynliggjøre T2 ved å se på positive f. Det itererte integralet er ikke noe annet enn formelen for volumet ved skivemetoden! Regnet oppgaven 14.2.10. Gjorde spesielt oppmerksom på Example 3; rekkefølgen kan være viktig! Innførte polarkoordinater som i 14.3. Husk den j...lille r'en. Satte strek i margen ved Example 4. (Uegentlige dobbeltintegral er nevnt i eksempelform i 14.3.) Nevnte generell formel for variabelsubstitusjon. Kommer tilbake til dette.
21.02: Startet med å definere dobbeltintegralet v.hj.a. Riemannsummer som i seksjon 14.1. For de med sans for det toeretiske nevnte jeg at "buelengde" i Teorem 1 er å kreve for mye sammenholdt med Teorem 2 i neste seksjon. Interesserte kan lese om kurvers areal her. La noe vekt på egenskaper ved dobbeltintegralet og dobbeltintegral ved "inspeksjon". Avsluttet med å trene litt på iterert integrasjon.
15.02: I dag fortsatte vi med eksempler fra 13.2 og regnet oppgave 13.2.4 ved å parametrisere sirkelen. Sirkelen kan også oppfattes som en nivåkurve til en funksjon g, og jeg regnet oppgaven ved Lagranges multiplikatormetode T 4 i 13.3 Vi så også på tre variable og oppgave 13.2.9. Tilslutt tok jeg et ad hoc argument for Lagranges mulitiplikatormetode med to bibetingelser og illustrerte metoden med et eksempel : 5 ligninger , 5 ukjente!
14.02: Temaet i første time : 2.deriverttesten med n=2. Den er skrevet opp på en uvanlig måte hva tegn angår under Remark s.712. Testen med n variable finner dere i Theorem 3. Jeg prøvde å gå gjennom beviset på en transparent. Interesserte finner en skisse her. Regnet oppgave 13.1.4. Viste at \(f(x,y) = 3xe^y -x^3-e^3y\)har ett kritisk punkt (1,0) som er et lokalt maksimum, men likevel ikke noe globalt maksimum. ( Dette er en gammel eksamensoppgave!) Avsluttet vi 13.1 og startet såvidt på ekstremalverditeorien for områder med rand. Kommenterte T 2 i 13.1 og gjennomgikk oppgave 13.2.2.
08.02: Forsatte med gradienter og retningsderiverte i seksjon 12.7. Merk at gradienten står vinkelrett på nivåkurver(n=2) og nivåflater(n=3),noe som gjør at vi lett kan definere tangenter og tangentplan. Så spesielt på oppgave 12.7.27 og introduserte "rates perceived by a moving observer" s.685. Kommenterte Ex 4; viktig!!! Til slutt startet vi ekstremalverditeorien i 13.1. Tok for oss Teorem 1 og annonserte 2.derivert test.
07.02: Startet med å se på notatet til 12.6. Regnet oppgave 12.6.4 som en illustrasjon på lineær approksimasjon. Er de partielle deriverte av første orden kontinuerlige i et punkt, er funksjonen deriverbar i punktet! Kjernereglene baserer seg på at den ytre funksjonen er deriverbar, dvs. den har tangentplan/linearisering i punktet - derfor får vi pluss mellom leddene! I annen time så vi på gradienter og retningsderiverte for funksjoner av to variable.
01.02: I dag gjennomgår vi endel eksempler på bruk av kjernereglene. Spesielt oppgavetypen 12.5.15 volder litt besvær: "Her må vi gå en ny runde med kjerneregelen". Viet også Ex 7 og diagrammet litt oppmerksomhet.
Lineær approksimasjon og deriverbarhet i 12.6 voldte problemet, og jeg lovde å skrive et notat.
31.01: Mer derivasjon! Høyere ordens deriverte, likhet av blandede deriverte, eksempler på viktige partielle differensialligninger. Kjerneregel 1 og 2 introduseres.
25.01: Vi definerer partielle deriverte og ser på en geometrisk fortolkning. Tangentplan og normallinje til en "glatt" flate introduseres. Gjennomgår bl.a.oppgave 12.3.16. Ser på avsnittet om topologi i n-rommet s.541. (De fleste av disse begrepene vil dukke opp i kurset.)
24.01: I dag started vi med 12.1-2. Heng dere på, nå starter vi på nytt igjen! Marco demonstrerte Maple i 2. time. Det er ikke så viktig å huske alle kommandoene, bare at Maple er enkelt å bruke og lenken til innføring i Maple, hvor dere kan hente eksemplene og prøve selv. I samme lenken står hvordan man kan skaffe seg en kopi av Maple.
18.01: Startet opp med buelengdeparametrisering("taksameterframstilling"). Tangentvektoren blir nå automatisk en enhetsvektor! Nyttig som teoretisk verktøy. Tok et utdrag fra seksjon 11.4: Definerte krumning, krumningsradius og enhetsnormalvektor N. Nevnte høyrehåndssystemet T, N, B=TxN. Viste at en rett linje har krumning lik 0, og en sirkel krumningsradius lik radien i sirkelen. Utledet dekomposisjonsformelen for akselerasonsvektoren, som avslutter vårt pensum i kap.11. (Resymerte kapitlet og snakket litt om von Koch-kurven som eksempel på en kurve som ikke har buelengde.)
17.01: I dag tok jeg for meg derivasjonsreglene i 11.1 (Teorem 1). Alle kan verfiseres v.hj.a. komponentfunksjoner. Gjennomgikk Ex6 og varianten i 11.1.24. Både viktig og pent! Deretter gikk jeg over til kurver og parametriseringer i 11.3. Så på oppgavene 11.3.7 og 11.3.9. Definerte til slutt buelengde og så på Ex4 med a=b=1.
11.01: Avsluttet 10.5 og begynte med 11.1. Definerte vektorfunksjoner generelt samt grenser, kontinuitet og derivert "som før". Som setning fikk vi at disse opeasjonene kan utføres komponentvis. Definerte tangent vektor. Kommenterte Ex 3 og regnet oppfave 11.1.16.
10.01: Forsøkte først å gi en oversikt over pensum. Gikk så løs seksjonene 10.1 og 10.5 som er å regne som en oppfarming! Pensum i denne omgang i 10.1 til midt på side 541. Regnet oppgavene 10.1.18 og 10.1.22. Fikk snakket om ellipsoider og enkappede hyperboloider i 10.5.

Sist oppdatert: 20.03.2017 15:08