Om Forum for
matematiske perler (og kuriositeter)
2001/2002 ·
2002/2003 ·
2003/2004 ·
2004/2005 ·
2005/2006 ·
2006/2007 ·
2007/2008 ·
2008/2009 ·
2009/2010 ·
2010/2011 ·
2011/2012 ·
2012/2013 ·
2013/2014 ·
2014/2015 ·
2015/2016 ·
2016/2017 ·
2017/2018 ·
2018/2019 ·
2019/2020 ·
2020/2021 ·
2021/2022 ·
2022→.
Det er tid for matematiske oppgaver/kuriositeter hentet fra Normats oppgavespalte. Her kommer oppgavene, i tilfelle noen vil prøve seg på forhånd. Foredraget blir på norsk.
Hva har Boltzmanns undersøkelser i termodynamikk å
gjøre med forekomst-frekvensen av 7 som førstesiffer i
følgen {2n|n=1,2,3,...}?
Hva har Poincarés undersøkelser angående
n-legemeproblemet å gjøre med eksistensen av
aritmetiske progresjoner innen en (endelig) partisjon av
de naturlige tall?
Og hva har Boltzmanns og Poincarés undersøkelser med
hverandre å gjøre?
Svaret på disse spørsmålene gir en slående illustrasjon av matematisk abstraksjon på sitt beste:
Nøkkelbegrepet ovenfor er «mål- (eller volum-) bevarende avbildning», og de riktige definisjonene er «ergodisitet» og «rekurrens» (eller «nesten-periodisitet»). Vi skal påvise hvordan den såkalte ergodesatsen - bevist av Birkhoff i 1931 - både gir svar på Boltzmanns spørsmål («tidsmiddel = fasemiddel»?) og Gelfands problem om siffer-frekvenser. Dessuten skal vi påvise hvordan det såkalte multiple rekurrensteoremet - bevist av Furstenberg i 1976 - både gir en utdypende forståelse av Poincarés globale tilnærming til n-legeme problemet, og gir løsningen på van der Waerdens problem om aritmetiske progresjoner.
Birkhoffs ergodesats er en vidtrekkende generalisering av «de store talls lov» fra sannsynlighets-teorien, som Khinchine og Kolmogorov etablerte. Av andre problemområder som er «nedslagsfelt» for anvendelse av ergodesatsen nevner vi i fleng
Furstenbergs multiple rekurrensteorem er en betydelig generalisering av et resultat som går tilbake til Poincaré («Poincarés rekurrensteorem»). Furstenbergs teorem viser seg meget overraskende å være ekvivalent med et berømt 1000$-premieproblem fremsatt av Erdös om visse aritmetriske progresjoner. Dette problemet ble løst i 1975 ved rent kombinatoriske metoder av Szemerédi. (Szemerédis løsning er meget komplisert.)
To the majority of the mathematicians the theory of the Zeta Function of Riemann is like a ferocious jungle of elaborate formulas and complicated estimates. Yet, it is a theme of central importance, because the Zeta Function is related to the distribution of the prime numbers. We shall put "the ferocious jungle" aside and concentrate on an isolated problem, where some progress has been recently reported.
The rest of the abstract is available as a PDF file.
Dette lille kåseriet vil handle om et lite påaktet tidlig arbeide av Abel, men som likevel har krav på adskillig interesse. I dette arbeidet fra 1823 løser Abel en integralligning ved hjelp av en ganske spesiell teknikk, såkalt brudden derivasjon, som han oppfant for anledningen. Han inførte også en transformasjon, som har funnet flere anvendelser. Den finnes i Atle Selbergs arbeid om sporformelen, og ble gjenoppdaget av Radon i begynnelsen av forrige århundre. Mest forbausende er kanskje at transformen er grunnlaget for moderne røntgentomografi. Jeg skal prøve å si litt om disse tingene.
People talk about Quantum Computers since mid 80-s with various degrees of enthusiasm or scepticism, even more so since 1994 when Shor's quantum factoring algorithm was announced which made it possible to imagine a quantum computer factoring integers in polynomial time.
Somehow it was much less noise when the journal Nature published (Dec.20, 2001) the article Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm where in a sense the actual construction of a quantum computer working with 7-qbits was reported.
The talk aims humbly to comment on those quantum things: q(uantum)bits, quantum gates, quantum algorithms, and on the experiment they reported in Nature.
Hvordan er sammenhengen mellom svingetid og lengde for en pendel? Eller mellom bølgelengde og bølgehastighet for vannbølger? Hvordan varierer friksjonsmotstanden for vannstrømning i et rør med de relevante parametrene? Hvor mye energi frigjør en atombombe?
Svaret på disse og mange andre spørsmål kommer nesten gratis ved hjelp av Buckinghams pi-teorem. Teoremet har to deler: En matematisk del som essensielt koker ned til en enkel anvendelse av lineæralgebra, og en dyptliggende sannhet om fysiske systemer. Hvorfor er naturen slik? Svaret er at naturlovene kan uttrykkes uavhengig av måleenhetene vi bruker, og dette impliserer en grunnleggende symmetri. Jeg skal prøve å trekke trådene til Sophus Lies teori for symmetri i differensialligninger og Emmy Noethers teorem om sammenhengen mellom symmetrier og konserveringslover i mekaniske systemer.
The triangle geometers of the 19th century found many interesting new objects that the Greek geometers would have liked to know. The paths they opened in their quest for some of them were at the beginning quite tortuous and they remained very involved for long time. The proof of the theorem Feuerbach found (the circle through the midpoints of the sides of any triangle is tangent to each one of the four circles tangent to the three sides of the triangle) took him enormous amount of calculations. Today this theorem can be proved in a few lines by means of an inversion.
Steiner's theorem on the deltoid (the envelope of the Wallace-Simson lines of any triangle is a very peculiar tricuspid hypocicloid, three times tangent to the Feuerbach circle, and with the same orientation of Morle's triangle) has also been rather opaque for long. A new and very direct proof of these facts is presented that reveals a few mysteries at once.
_-_The_Girl_With_The_Pearl_Earring_(1665).jpg){kind=link}