Om Forum for
matematiske perler (og kuriositeter)
2001/2002 ·
2002/2003 ·
2003/2004 ·
2004/2005 ·
2005/2006 ·
2006/2007 ·
2007/2008 ·
2008/2009 ·
2009/2010 ·
2010/2011 ·
2011/2012 ·
2012/2013 ·
2013/2014 ·
2014/2015 ·
2015/2016 ·
2016/2017 ·
2017/2018 ·
2018/2019 ·
2019/2020 ·
2020/2021 ·
2021/2022 ·
2022→.
foto: Steve Jurvetson
I 1956 publiserte Atle Selberg en artikkel med den enkle tittel: Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series. I ettertid fremstår kanskje dette arbeidet, spesielt sporformelen og den såkalte Selbergske zetafunksjon, som Selbergs mest betydelige bidrag til matematikken. Det er minst to grunner til det. For det første kombinerer og utnytter Selberg her kraften fra en rekke ulike matematiske felter: kompleks analyse, differensialgeometri, operatorteori, harmonisk analyse og tallteori. For det annet har sporformelen og Selbergs zetafunksjon en rekke dyptgripende anvendelsesområder.
Jeg synes derfor ikke det er riktig å kalle sporformelen en «matematisk perle», den er for stor og kompleks til det. Det er snarere snakk om en diamant, hvor slipingen fortsatt foregår og avdekker stadig nye fasetter. I fordraget skal vi se litt inn i diamanten og prøve å forstå noe av det som finnes i dens mysteriøse indre.
Transparentene fra foredraget er tilgjengelige.
Først mer enn 70 år etter at Darwin i 1859 publiserte sitt arbeid om artenes opprinnelse startet arbeidet med å utvikle det teoretiske grunnlaget for evolusjonsbiologien. Tre matematisk orienterte vitenskapsmenn, S. Wright, R.A. Fisher og C.B.S. Haldane, regnes som grunnleggerne av moderne populasjonsgenetikk med mange viktige bidrag i 1930-årene og senere. Vi skal se på ett begrep/resultat fra hver av disse, Fishers reproduktive verdi, Wrights effektive populasjonsstørrelse, og Haldanes resultat om evolusjonsrate, og hvordan disse anvendes i moderne stokastisk populasjonsdynamikk og populasjonsgenetikk.
«Print Gallery», et litografi fra 1956 av den nederlandske kunstneren M.C. Escher, fremviser en forbløffende optisk illusjon – en skjult «Drostevirkning» som lager en uendelig rekke av selv-refleksjoner. På bakgrunn av denne oppdagelsen produserte en gruppe matematikere i Leiden en serie med hallusinasjonsaktige computer-animasjoner. Disse viser blant annet hva som skjer innenfor den mystiske flekken midt i litografiet som Escher lot være blank.
Hendrik W. Lenstra er en matematiker med spesialitet innen tallteori og algebra. Han er mest kjent for å ha introdusert avanserte teknikker i tallteoretiske algoritmer, som har viktige anvendelser innenfor kryptografi og computer-sikkerhet.
Abstract: In 1956 the Dutch graphic artist Maurits Cornelis Escher (1898–1972) made an unusual lithograph with the title Prentententoonstelling (“Print Gallery”). It shows a young man standing in an exhibition gallery, viewing a print of a Mediterranean seaport. As his eyes follow the quayside buildings shown on the print from left to right and then down, he discovers among them the very same gallery in which he is standing. A circular white patch in the middle of the lithograph contains Escher’s monogram and signature.
The lithograph features a stunning optical illusion which produces an infinite series of self-reflections. On the basis of this discovery, a team of mathematicians at Leiden produced a series of hallucinating computer animations.
What is the mathematics behind Prentententoonstelling? Is there a more satisfactory way of filling in the central white hole? We shall see that the lithograph can be viewed as drawn on a certain elliptic curve over the field of complex numbers and deduce that an idealized version of the picture repeats itself in the middle. More precisely, it contains a copy of itself, rotated clockwise by 157.6255960832… degrees and scaled down by a factor of 22.5836845286….
The talk will give a popular explanation of this.
We will start with an elementary inequality (that is extensively used in math competitions and is known as the “Rearrangement Inequality”). It is extremely simple and surprisingly general. Many classical elementary inequalities can be obtained by smart Rearrangements.
Integral versions of the Rearrangement Inequality are connected to geometrical symmetrisation. It will lead us to a simple proof of the classical isoperimetric inequality. We plan to discuss other isometric inequalities, one for eigenvalues of Laplacian, one for Brownian motion, and one for capacity (if time permits).
At the end of the talk a generalized Rearrangement will be briefly described. It was recently used by F. Hamel, N. Nadirashvilli, and E. Russ for estimates of the eigenvalues of elliptic operators.
We will follow the development of the Rearrangement from a trivial observation to a powerful technique of modern analysis.
Hva er en rettferdig valgordning, en god ordning for å fordele rettigheter og plikter, eller mer generelt et tilfredsstillende system for å treffe beslutninger?
Slike spørsmål er normative og har ikke noe «riktig» svar. Likevel kan systematisk analyse, med bruk av matematikk, være en støtte for tanken og bidra til avklaring.
Vi har intuitive oppfatninger om hva som er riktig eller rettferdig i konkrete saker, og vi har oppfatninger om prinsipper for rettferdighet. Prinsippene kan ofte formuleres presist, som «normative aksiomer».
Ved å utlede konsekvenser fra disse aksiomene kan man avgjøre om det er mulig å oppfylle dem alle, og i så fall hvordan. Ofte er svaret at aksiomene er inkonsistente, altså at de prinsippene man umiddelbart finner rimelige, ikke lar seg forene. Da er man nødt til å tenke seg om og modifisere prinsippene. Tilsvarende kan det være konflikt mellom konsekvenser av de formulerte prinsippene og intuisjoner om konkrete tilfeller.
Metoden er anvendt på mandatfordelingsmetoder ved forholdstallvalg. Her skal mandater, som må være heltall, fordeles forholdsmessig på grunnlag av stemmetall. Geografisk fordeling av mandater på grunnlag av folketall eller lignende er formelt samme problem. I bunn og grunn er dette et spørsmål om avrunding, og det kan synes uviktig, men det er likevel ikke uten betydning som vi skal se.
Phylogenetiske trær brukes til å beskrive slektskapsforhold i utviklingsbiologi. Anvendt på mikronivå kan dette dreie seg om relasjoner mellom DNA-sekvenser, og har derfor hatt voksende interesse i de senere årene. Ved å avdekke nærhetsrelasjoner mellom ulike virus kan en for eksempel kartlegge mulige smitteveier.
I en matematisk modell brukes algebraiske invarianter til å skille mellom ulike phylogenetiske trær, og dermed bestemme hvilket tre som passer best til gitte data. Beregning av disse invariantene viser seg å være nær knyttet til klassiske problemer i geometri.
Vi tar utgangspunkt i de regulære polyederne som Platon og pytagoreerne var opptatt av,
Vi følger Arkimedes videre til de semiregulære polyederne
På figuren har vi dessuten tatt med prismer og antiprismer. Beslektet med disse er mulighetene for helt regelmessige mønstre i flislegging:
og halvveis regelmessige, slik som disse beslektede mønstrene:
I Alhambra finner vi interessante veggmønstre, eller som en også sier tapetmønstre:
Alt dette henger sammen med den moderne teorien for diskontinuerlige grupper generelt, spesielt med de såkalte krystallografiske gruppene.
Blant de 7 Millenium Prize-problemene finner vi Poincarés formodning. Dette har vært et av hovedproblemen innenfor topologi i det 20. århundret, men i 2002–03 kom tre preprint [1, 2, 3] fra den russiske matematikeren Grisha Perelman, og i dag anses Poincarés formodning som bevist. I dette foredraget skal vi se på idéer som ligger bak formodningen og beviset: Vi skal snakke om ulike geometrier, og forklare hva en mangfoldighet er. 3-mangfoldigheter skal klassifiseres ut fra deres tillatte geometrier, og konstruksjonen av slike gjøres ved å studere en partiell differensialligning, nemlig Ricci-ligningen. Foredraget er uformelt, elementært og visuelt, til glede for alle.
Genererende funksjoner har mange anvendelser, blant annet i tallteori og sannsynlighetsteori, og gir ofte forbløffende enkle beviser for intrikate resultater. Jeg skal prøve å illustrere dette med noen resultater om virrevandringer. Resultatene (og bevisene) er elementære – alt som trengs er litt fingerferdighet i å summere potensrekker.
Et resultat som har fascinert generasjon etter generasjon av matematikere, er teoremet som sier at den generelle n’tegradsligningen ikke kan løses ved algebraiske operasjoner («ved rotutdragninger») når n≥5. I dag serveres dette resultatet som et korollar av den såkalte Galois-teorien, som er en imponerende matematisk tankebygning, men som krever et omfattende abstrakt begrepsapparat for tilegnelse. Abels opprinnelige bevis [pdf: 1824, 1826, 1826a] derimot benytter kun de mest elementære begreper, slik som den euklidske algoritme og symmetriske polynomer, og er tilgjengelig for en større skare av matematisk interesserte. Målet med dette foredraget er å presentere Abels bevis slik at det blir forståelig for et større publikum.
_-_The_Girl_With_The_Pearl_Earring_(1665).jpg){kind=link}
